Escopo da Computação: Álgebra Linear

Resumo: Será mostrada uma visão básica sobre Matrizes, classificação de matrizes, operações matriciais, adição de matrizes, subtração de matrizes, multiplicação de matrizes, matriz transposta, matriz oposta e matriz inversa.

Uma Matriz pode ser entendida como uma tabela cujos dados estão distribuídos em linhas e colunas.

$\ A_{m\times n}\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& ...& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n} \\ a_{31}& a_{32}& ...& a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn} \end{pmatrix}$

Pode ser representada por uma letra em caixa alta e o tamanho, ou ordem, definido em m (número de linhas) e n (número de colunas), como $\ A_{m\times n}$ . Os elementos de uma matriz podem ser representado por pela mesma letra que representa a matriz, contudo em caixa baixa e a posição do elemento definida em i (linha) e j (coluna), como $\ a_{32}$ (elemento a da matriz A posicionado na linha 3 da coluna 2, sempre primeiro linha e depois coluna). Além disso, a representação gráfica pode ser: $\begin{pmatrix} \, \end{pmatrix}\, \begin{bmatrix} \, \end{bmatrix}\, \begin{Vmatrix} \, \end{Vmatrix}$

Sendo assim, vamos construir uma matriz $\ A=\bigl(\begin{smallmatrix} a_{ij} \end{smallmatrix}\bigr)_{3\times 3}$ , em que $\ a_{ij}\left\{\begin{matrix} i+j,\, se\, i\leqslant j\\ i-j,\, se\, i> j \end{matrix}\right$
O primeiro passo é construir a matriz genérica.

$\ A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}_{3\times 3}$

O segundo passo é analisar as condições que vão ser aplicadas sobre a matriz genérica. Neste caso, sempre que i for menor ou igual a j devemos substituir tal aij pelo valor da soma; e sempre que i for maior que j devemos substituir tal aij pelo valor da subtração.

$\ A=\begin{pmatrix} i=j&i<j&i<j\\ i>j&i=j&i<j\\ i>j&i>j&i=j\end{pmatrix}_{3\times 3}$

$\ A=\begin{pmatrix} 1+1&1+2&1+3\\ 2-1&2+2&2+3\\ 3-1&3-2&3+3\end{pmatrix}_{3\times 3}$

Assim teremos:

$\ A=\begin{pmatrix} 2&3&4\\ 1&4&5\\ 2&1&6\end{pmatrix}_{3\times 3}$

Veja, a seguir, a tabela de classificação de matrizes.

Classificação de Matrizes
Tipos	Características	Modelos
Linha	Matriz que possui apenas 1 linha	$\begin{matrix} A= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 9 \end{bmatrix} \end{matrix}_{1\times 3}$
Coluna	Matriz que possui apenas 1 coluna	$\begin{matrix} A= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 9 \end{bmatrix}_{3\times 1} \end{matrix}$
Nula	Matriz que possui todos os elemento nulos	$O=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$
Quadrada	Matriz que possui número igual de linhas e colunas	$A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 5\\ 7 & -1 & -2\\ 4 & 2 & 9\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}$
Diagonal	Matriz quadrada que possui pelo menos 1 diagonal nula	$A=\begin{bmatrix} 0 & 8 & 5\\ 7 & 0 & -2\\ 4 & 2 & 0\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}$
Singular	Matriz que possui todos os elemento da diagonal principal iguais	$A=\begin{bmatrix} 2 & 8 & 5\\ 6 & 2 & 3\\ 7 & 9 & 2 \end{bmatrix}_{3\times 3}$
Triangular Superior	Matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos	$A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 7 & -1 & 0\\ 4 & 2 & 9\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}$
Triangular Inferior	Matriz quadrada que possui todos os elementos nulos abaixo da diagonal principal nulos	$A=\begin{bmatrix} 3 & 8 & 5\\ 0 & -1 & -2\\ 0 & 0 & 9\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}$
Simétrica	Matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal principal transpostos abaixo da diagonal principal	$A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 5\\ 0 & -1 & -2\\ 5 & -2 & 9\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}$
Anti-Simétrica	Matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal principal opostos abaixo da diagonal principal	$A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 5\\ 0 & -1 & -2\\ -5 & 2 & 9\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}$
Identidade ou Unidade	Matriz quadrada diagonal singular triangular simétrica anti-simétrica que possui a diagonal principal constituída pelo número 1, e demais elementos iguais a zero	$I=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}$

Operações Matriciais

Adição de Matrizes

Adição de matrizes possui dois comportamentos distintos: soma termo a termo e soma direta.

Soma termo a termo nada mais é que somar um elemento com um outro correspondente em outra matriz, portanto as matriz que vão ser somadas devem ser da mesma ordem, ou seja, possuir o mesmo número de linhas e colunas. Por exemplo, temos duas matrizes para somá-la uma a outra.

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & -1\\ 5 & -4\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$ e $B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$

Neste caso, podemos somar as matrizes A+B termo a termo, gerando uma matriz C de mesma ordem.

$A+B=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & -1\\ 5 & -4\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 1+0 & 0+1\\ 2+3 & -1+5\\ 5+2 & -4+1\\ \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 5 & 4\\ 7 & -3\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$

Propriedades de soma entre matrizes:
» A + B = B + A
» (A + B) + C = A + (B + C)
» A + O = O + A = A
» A + (-A) = (-A) + A = O

Obs.: O é uma matriz nula.

Já a soma direta é mais rara, sendo usada em álgebra para somar grupos, anéis e espaços vetoriais. Portanto, não é necessário que as matrizes a se somar sejam de mesma ordem. Contudo, não se deve aplicar soma direta em uma simples soma de matrizes de ordens diferentes, ou seja, não existe a soma de uma matriz A(3x3) com uma matriz B(2x2).

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 8\\ 2 & -1 & 2\\ 5 & -4 & 9\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}$ e $B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ \end{bmatrix}_{2\times 2}$

Neste caso, podemos somar as matrizes A⊕B de forma direta, gerando uma matriz C de ordem aditiva.

$A\bigoplus B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 8\\ 2 & -1 & 2\\ 5 & -4 & 9\\ \end{bmatrix}\bigoplus \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ \end{bmatrix}$

Insere-se as matrizes em diagonal.

$C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 8 & & \\ 2 & -1 & 2 & & \\ 5 & -4 & 9 & & \\ & & & 0 & 1\\ & & & 3 & 5\\ \end{bmatrix}_{(3+2)\times (3+2)}$

E nos espaços vazios, completa-se com zero.

$C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 8 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 2 & 0 & 0\\ 5 & -4 & 9 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 5\\ \end{bmatrix}_{5\times 5}$

Subtração de Matrizes

Subtrair matrizes assemelha-se a subtração de números reais, em que a ordem dos fatores influência no resultado. Ou seja, A-B é diferente de B-A. Como na soma termo a termo, aqui temos a subtração termo a termo entre matrizes de mesma ordem. Por exemplo, temos duas matrizes.

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & -1\\ 5 & -4\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$ e $B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$

Neste caso, podemos subtrair as matrizes A-B termo a termo, gerando uma matriz C de mesma ordem, ou B-A, gerando uma matriz D de mesma ordem.

$A-B=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & -1\\ 5 & -4\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 1-0 & 0-1\\ 2-3 & -1-5\\ 5-2 & -4-1\\ \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ -1 & -6\\ 3 & -5\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$

$B-A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & -1\\ 5 & -4\\ \end{bmatrix}$

$D=\begin{bmatrix} 0-1 & 1-0\\ 3-2 & 5-(-1)\\ 2-5 & 1-(-4)\\ \end{bmatrix}$

$D=\begin{bmatrix} -1 & 1\\ 1 & 6\\ -3 & 5\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$

Propriedades de subtração entre matrizes:
» A - B é diferente de B - A
» A - O = A
» O - A = -A
» A - (-A) = 2A
» (-A) - A = -2A

Obs.: O é uma matriz nula.

Multiplicação de Matrizes

Multiplicação de matrizes deve ocorrer em pares. Multiplicando as matrizes A(mxn) e B(pxq), teremos uma matriz C(mxq), desde que n seja igual a p, caso contrário é impossível multiplicar as matrizes. Como já se nota, a ordem das matrizes não é mantida e sim formado pelas dimensões externas de linha, da primeira matriz, e coluna, da segunda matriz. Sendo assim, multiplica-se linha por coluna. Por exemplo, temos duas matrizes.

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & -1 & 8\\ \end{bmatrix}_{2\times 3}$ e $B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$

Neste caso, podemos multiplicar as matrizes AxB, gerando uma matriz C de ordem 2x2.

$A\times B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & -1 & 8\\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix}$

Multiplica-se linha por coluna.

$C=\begin{bmatrix} (1\times 0)+(0\times 3)+(3\times 2) & (1\times 1)+(0\times 5)+(3\times 1)\\ (2\times 0)+(-1\times 3)+(8\times 2) & (2\times 1)+(-1\times 5)+(8\times 1)\\ \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 0+0+6 & 1+0+3\\ 0+(-3)+16 & 2+(-5)+8\\ \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 6 & 4\\ 13 & 5\\ \end{bmatrix}_{2\times 2}$

Ainda neste mesmo caso, poderíamos multiplicar BxA, gerando uma matriz D de ordem 3x3. Mas também podemos pegar apenas uma matriz e multiplicar por uma constante (constante é um valor numérico imutável: 5, não vale 3 ou 7, vale 5). Assim, se multiplicarmos a matriz A por 5 teremos uma matriz 5A.

$5\times A=5\times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & -1 & 8\\ \end{bmatrix}_{2\times 3}=\begin{bmatrix} 5 & 0 & 15\\ 10 & -5 & 40\\ \end{bmatrix}_{2\times 3}$

Propriedades de multiplicação entre matrizes:
» A.B é diferente de B.A
» (A.B).C = A.(B.C)
» C.(A + B) = C.A + C.B
» (A + B).C = A.C + B.C
» A.I = I.A = A
» A.O = O
» k.A = A.k
» (k1 + k2).A = k1.A + k2.A
» k.(A + B) = k.A + k.B
» 1.A = A
» 0. A = 0
» k.O = O
Obs.: K é uma constante qualquer.

Matriz Transposta

Uma matriz transposta é obtida a partir da transformação de linhas em coluna de uma matriz qualquer.

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & -1 & 8\\ \end{bmatrix}_{2\times 3}$

$A^{t}=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1\\ 3 & 8\\ \end{bmatrix}_{3\times 2}$

Propriedades de multiplicação entre matrizes:
» (A^t)^t = A
» (A + B)^t = A^t + B^t
» (k.A)^t = k.A^t
» (A.B)^t = B^t . A^t
» No caso de matrizes quadradas, se A = A^t, então dizemos que a matriz A é simétrica.
» Ainda para matrizes quadradas, se A = -A^t , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
» Sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + A^t = 0 (matriz nula).
Obs.: K é uma constante qualquer.

Equações Matriciais

São equações entre matrizes. Por exemplo, temos duas matrizes.

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & -1\\ \end{bmatrix}_{2\times 2}$ e $B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ \end{bmatrix}_{2\times 2}$

Dada a equação 2A+X=3B, vamos encontrar a matriz X. Isso é bem simples. Começamos resolvendo a equação isolando o X. E depois partimos para o cálculo.

$X=3B-2A=3\times\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 5\\ \end{bmatrix}-2\times\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & -1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 3\\ 9 & 15\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 4 & -2\\ \end{bmatrix}$

$X=\begin{bmatrix} -2 & 3\\ 5 & 17\\ \end{bmatrix}_{2\times 2}$

Matriz Oposta

Matriz que possui todos os elementos opostos em outra matriz.

$\begin{matrix}A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 5\\ 7 & -1 & -2\\ 4 & 2 & 9\\ \end{bmatrix}_{3\times 3} \\ \\ -A=\begin{bmatrix} -3 & -0 & -5\\ -7 & 1 & 2\\ -4 & -2 & -9\\ \end{bmatrix}_{3\times 3}\end{matrix}$

Matriz Inversa

Matriz que, se multiplicada pela matriz normal, resulta em uma matriz identidade.

$A.A^{-1}=I \\ \\ A=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 7 & -1 \\ \end{bmatrix}_{2\times 2}$

$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} (3\time a)+(0\time c) & (3\time b)+(0\time d) \\ (7\time a)+(-1\time c) & (7\time b)+(-1\time d) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3a & 3b \\ 7a-c & 7b-d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Igualando termo a termo, teremos:

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\ 7/3 & -1 \\ \end{bmatrix}_{2\times 2}$