Escopo da Computação: Álgebra Linear

Resumo: Nesta postagem, o assunto Determinantes abordado em Álgebra Linear será abordado de forma simples e objetiva. Será mostrada uma visão básica sobre Determinantes, Regra de Sarrus, Teorema de Laplace, menor complementar, cofator, Regra de Chió, propriedades dos determinantes, Teorema de Binet, Teorema de Jacobi, Matriz de Vandermonde e soma de determinantes.

Determinante é um número, ou escalar, que corresponde a uma matriz quadrada. A representação de determinante é dada por $det(M)=\begin{vmatrix} m_{ij}\\ \end{vmatrix}_{n \times n}\\$ , em que M é uma matriz quadrada qualquer de ordem n e mij é um elemento da matriz M.

Determinante de Ordem 1

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 sempre será seu único elemento.

$\begin{matrix} M=\begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix}_{1\times 1}\\ \\ det(M)=\begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix}=7 \end{matrix}$

Determinante de Ordem 2

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 sempre será a subtração do produto dos elementos da diagonal secundária do produto dos elementos da diagonal principal.

$\begin{matrix} M=\begin{bmatrix} 2 & 5\\ 3 & 1 \end{bmatrix}_{2\times 2} \\ \\ det(M)=\begin{vmatrix} {\color{Blue} 2} & {\color{Red} 5}\\ {\color{Red} 3} & {\color{Blue} 1} \end{vmatrix}=({\color{Blue} 2} \; . \; {\color{Blue} 1})-({\color{Red} 3}\; .\; {\color{Red} 5})={\color{Blue} 2}-{\color{Red} 15}=-13 \\ \\ _{\color{Blue} \blacksquare\; \textrm{Diagonal Principal}}\\ _{\color{Red} \blacksquare\; \textrm{Diagonal Secundária}} \end{matrix}$

Regra de Sarrus

Sarrus desenvolveu uma forma de se obter determinantes de matrizes quadradas de ordem 3.

Consiste em repetir as duas primeiras colunas após a terceira coluna, transformando a matriz quadrada de ordem 3 em uma matriz de ordem 3 por 5, ou seja, 3 linhas e 5 colunas.

A partir disso, faz-se a subtração da soma dos produtos dos elementos das diagonais paralelas à diagonal secundária da soma dos produtos dos elementos das diagonais paralelas à diagonal principal, desde que a diagonal a ter seus elementos multiplicados entre si possuem 3 elementos.

$M=\begin{bmatrix} 7 & 5 & 8\\ 3 & 4 & 9\\ 1 & 2 & 6 \end{bmatrix}_{3\times 3}$ $det(M)=\begin{vmatrix} 7 & 5 & 8\\ 3 & 4 & 9\\ 1 & 2 & 6 \end{vmatrix} \left.\begin{matrix} 7 & 5\\ 3 & 4\\ 1 & 2 \end{matrix}\right|$

$\begin{matrix} \begin{vmatrix} {\color{DarkBlue} 7} & {\color{Blue} 5} & {\color{Blue} 8}\\ {\color{Gray} 3} & {\color{DarkBlue} 4} & {\color{Blue} 9}\\ {\color{Gray} 1} & {\color{Gray} 2} & {\color{DarkBlue} 6} \end{vmatrix} \left.\begin{matrix} {\color{Gray} 7} & {\color{Gray} 5}\\ {\color{Blue} 3} & {\color{Gray} 4}\\ {\color{Blue} 1} & {\color{Blue} 2} \end{matrix}\right| \\ \\ _{\color{DarkBlue} \blacksquare\; \textrm{Diagonal Principal}}\\ _{\color{Blue} \blacksquare\; \textrm{Diagonal Paralela à Principal}}\\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \begin{vmatrix} {\color{Gray} 7} & {\color{Gray} 5} & {\color{DarkRed} 8}\\ {\color{Gray} 3} & {\color{DarkRed} 4} & {\color{Red} 9}\\ {\color{DarkRed} 1} & {\color{Red} 2} & {\color{Red} 6} \end{vmatrix} \left.\begin{matrix} {\color{Red} 7} & {\color{Red} 5}\\ {\color{Red} 3} & {\color{Gray}4}\\ {\color{Gray}1} & {\color{Gray}2} \end{matrix}\right| \\ \\ _{\color{DarkRed} \blacksquare\; \textrm{Diagonal Secundária}}\\ _{\color{Red} \blacksquare\; \textrm{Diagonal Paralela à Secundária}} \end{matrix}$

$[({\color{DarkBlue} 7}\;.\;{\color{DarkBlue} 4}\;.\;{\color{DarkBlue} 6})+({\color{Blue} 5}\;.\;{\color{Blue} 9}\;.\;{\color{Blue} 1})+({\color{Blue} 8}\;.\;{\color{Blue} 3}\;.\;{\color{Blue} 2})]-[({\color{DarkRed} 1}\;.\;{\color{DarkRed} 4}\;.\;{\color{DarkRed} 8})+({\color{Red} 2}\;.\;{\color{Red} 9}\;.\;{\color{Red} 7})+({\color{Red} 6}\;.\;{\color{Red} 3}\;.\;{\color{Red} 5})]$

$[({\color{DarkBlue} 168})+({\color{Blue} 45})+({\color{Blue} 48})]-[({\color{DarkRed} 32})+({\color{Red} 126})+({\color{Red} 90})]$

$\begin{matrix} det(M)=({\color{DarkBlue} 261})-({\color{DarkRed} 248}) \\ \\ det(M)=13 \end{matrix}$

Teorema de Laplace

Laplace pode ser aplicado em matrizes quadradas, especialmente nas de ordem superior a 3. Consiste em um método trabalhoso que demanda muita atenção e tempo despendido, baseado em Menor Complementar e Cofator.

Menor Complementar (Dij): Determinante de uma matriz formada pela supressão da linha e coluna respectivas a um elemento qualquer da matriz original.

$D_{ij}=det(M_{(i-1)\times(j-1)})=det(D)$

Cofator (Aij): Fator multiplicador. É o produto do Menor Complementar por (-1) elevado a i+j.

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\;.\;D_{ij}$

Sendo assim, o teorema de Laplace é dado por um determinante obtido a partir da soma dos produtos entre cofator e o próprio elemento com o qual se relaciona, de uma mesma fila (linha ou coluna).

$det(M)=\sum_{i=1}^{m}m_{ij}\;.\;(-1)^{i+j}\;.\;D_{ij}$

Veja um exemplo de aplicação do Teorema de Laplace em uma matriz quadrada de ordem 4.

$M=\begin{bmatrix} {\color{Green} 3} & {\color{Green} 4} & {\color{Green} 0} & {\color{Green} 3}\\ 0 & 3 & 2 & 4\\ 1 & 6 & 2 & 5\\ 5 & 1 & 4 & 0 \end{bmatrix}_{4\times 4}$
Escolha qualquer fila. No caso, escolhi a primeira linha.

$det(M)=\begin{vmatrix} {\color{Green} 3} & {\color{Green} 4} & {\color{Green} 0} & {\color{Green} 3}\\ 0 & 3 & 2 & 4\\ 1 & 6 & 2 & 5\\ 5 & 1 & 4 & 0 \end{vmatrix}=3\;.\;A_{11}+4\;.\;A_{12}+0\;.\;A_{13}+3\;.\;A_{14}$
Cálculo do Menor Complementar referente ao elemento ${\color{Green} m_{11}=3}$

$\begin{bmatrix} {\color{Green} 3} & & & \\ & 3 & 2 & 4\\ & 6 & 2 & 5\\ & 1 & 4 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow D_{11}=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 4\\ 6 & 2 & 5\\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix}=38$
Cálculo do Cofator referente ao elemento ${\color{Green} m_{11}=3}$

$A_{11}=(-1)^{1+1}\;.\;D_{11}$
$A_{11}=1\;.\;38$
$A_{11}=38$
Cálculo do Menor Complementar referente ao elemento ${\color{Green} m_{12}=4}$

$\begin{bmatrix} & {\color{Green} 4} & & \\ 0 & & 2 & 4\\ 1 & & 2 & 5\\ 5 & & 4 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow D_{12}=\begin{vmatrix} 0 & 2 & 4\\ 1 & 2 & 5\\ 5 & 4 & 0 \end{vmatrix}=26$
Cálculo do Cofator referente ao elemento ${\color{Green} m_{12}=4}$

$A_{12}=(-1)^{1+2}\;.\;D_{12}$
$A_{12}=(-1)\;.\;26$
$A_{11}=-26$
Cálculo do Menor Complementar referente ao elemento ${\color{Green} m_{13}=0}$

$\begin{bmatrix} & & {\color{Green} 0} & \\ 0 & 3 & & 4\\ 1 & 6 & & 5\\ 5 & 1 & & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow D_{13}=\begin{vmatrix} 0 & 3 & 4\\ 1 & 6 & 5\\ 5 & 1 & 0 \end{vmatrix}=-41$
Cálculo do Cofator referente ao elemento ${\color{Green} m_{13}=0}$

$A_{13}=(-1)^{1+3}\;.\;D_{13}$
$A_{13}=1\;.\;(-41)$
$A_{13}=-41$
Cálculo do Menor Complementar referente ao elemento ${\color{Green} m_{14}=3}$

$\begin{bmatrix} & & & {\color{Green} 3}\\ 0 & 3 & 2 & \\ 1 & 6 & 2 & \\ 5 & 1 & 4 & \end{bmatrix} \Rightarrow D_{14}=\begin{vmatrix} 0 & 3 & 2\\ 1 & 6 & 2\\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}=-40$
Cálculo do Cofator referente ao elemento ${\color{Green} m_{14}=3}$

$A_{14}=(-1)^{1+4}\;.\;D_{14}$
$A_{14}=(-1)\;.\;(-40)$
$A_{14}=40$
Calculados os menores complementares e os cofatores correspondentes a cada elemento da fila selecionada, basta finalizar o cálculo do determinante da matriz M.

$det(M)=3\;.\;A_{11}+4\;.\;A_{12}+0\;.\;A_{13}+3\;.\;A_{14}$
$det(M)=3\;.\;38+4\;.\;(-26)+0\;.\;(-41)+3\;.\;40$
$det(M)=114\;-\;104\;+\;120$
Portanto, o determinante da matriz quadrada M de ordem 4 é igual a 130.

$det(M)=130$

Regra de Chió

Esta regra foi desenvolvida exclusivamente para cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 4. E assim como em Laplace, faz uso de Menor Complementar e Cofator. Contudo, diferente de Laplace, para aplicar a regra de Chió em uma matriz, ela deve conter pelo menos um elemento igual a 1.

Localizado o elemento igual a 1, deve-se fazer a projeção da matriz Dij, menor complementar de um matriz M original qualquer. E de cada elemento dessa matriz Dij, subtrair o produto da linha com a coluna excluídos.

A partir da nova matriz Dij formada, deve-se calcular o cofator do elemento inicial igual a 1. Sendo o resultado dessa operação o determinante da matriz M. Veja um exemplo de aplicação da Regra de Chió em uma matriz quadrada de ordem 4 (a mesma do exemplo anterior).

$M=\begin{bmatrix} {\color{Green} 3} & 4 & 0 & 3\\ {\color{Green} 0} & 3 & 2 & 4\\ {\color{DarkGreen} 1} & {\color{Green} 6} & {\color{Green} 2} & {\color{Green} 5}\\ {\color{Green} 5} & 1 & 4 & 0 \end{bmatrix}_{4\times 4}$

Escolha um elemento que seja igual a 1. Neste caso, escolhi o elemento $m_{31}=1$ , elemento m da linha 3 e coluna 1 (mas poderia escolher o elemento $m_{42}=1$ , que o resultado final seria o mesmo).

Montagem da matriz menor complementar referente ao elemento $m_{31}=1$

$\begin{bmatrix} & 4 & 0 & 3\\ & 3 & 2 & 4\\ {\color{DarkGreen} 1} & & & \\ & 1 & 4 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow D_{31}= \begin{vmatrix} 4 & 0 & 3\\ 3 & 2 & 4\\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

De cada elemento, subtraia o produto da linha com a coluna excluídos.

$D_{31}= \begin{vmatrix} 4 & 0 & 3\\ 3 & 2 & 4\\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4-({\color{Green} 3}\;.\;{\color{Green} 6}) & 0-({\color{Green} 3}\;.\;{\color{Green} 2}) & 3-({\color{Green} 3}\;.\;{\color{Green} 5})\\ 3-({\color{Green} 0}\;.\;{\color{Green} 6}) & 2-({\color{Green} 0}\;.\;{\color{Green} 2}) & 4-({\color{Green} 0}\;.\;{\color{Green} 5})\\ 1-({\color{Green} 5}\;.\;{\color{Green} 6}) & 4-({\color{Green} 5}\;.\;{\color{Green} 2}) & 0-({\color{Green} 5}\;.\;{\color{Green} 5}) \end{vmatrix}$

$D_{31}= \begin{vmatrix} -14 & -6 & -12\\ 3 & 2 & 4\\ -29 & -6 & -25 \end{vmatrix}=130$

Calculando o cofator de $m_{31}=1$ , levando em consideração o menor complementar anterior, encontraremos o determinante da matriz M.

$A_{31}=(-1)^{3+1}\;.\;D_{31}$
$A_{31}=1\;.\;130$
$A_{31}=130$

Portanto, o determinante da matriz quadrada M de ordem 4 é igual a 130.

$det(M)=130$

Propriedades dos determinantes

Propriedade 1: Toda matriz que apresenta uma fila (linha ou coluna) nula, seu determinante será zero.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} {\color{DarkOrange} 0} & {\color{DarkOrange} 0} & {\color{DarkOrange} 0}\\ 1 & 4 & 9\\ 7 & 6 & 2 \end{vmatrix}=0\\ \\ det(M)=\begin{vmatrix} {\color{DarkOrange} 0} & 1 & 5\\ {\color{DarkOrange} 0} & 4 & 9\\ {\color{DarkOrange} 0} & 6 & 2 \end{vmatrix}=0\\ \end{matrix}$

Propriedade 2: Toda matriz que apresenta duas filas (linhas ou colunas) paralelas iguais, seu determinante será zero.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} {\color{DarkOrange} 2} & 5 & {\color{DarkOrange} 2}\\ {\color{DarkOrange} 7} & 1 & {\color{DarkOrange} 7}\\ {\color{DarkOrange} 3} & 8 & {\color{DarkOrange} 3} \end{vmatrix}=0 \\ \\ det(M)=\begin{vmatrix} {\color{DarkOrange} 3} & {\color{DarkOrange}-1} & {\color{DarkOrange} 5}\\ {\color{DarkOrange} 3} & {\color{DarkOrange}-1} & {\color{DarkOrange} 5}\\ -8 & 3 & 4 \end{vmatrix}=0 \end{matrix}$

Propriedade 3: Toda matriz que apresenta duas filas (linhas ou colunas) paralelas proporcionais, seu determinante será zero.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} {\color{Orange} -1} & 4 & {\color{DarkOrange} -2}\\ {\color{Orange} 7} & -8 & {\color{DarkOrange} 21}\\ {\color{Orange} 3} & 5 & {\color{DarkOrange} 9} \end{vmatrix}=0 \\ \\ \textrm{{\color{DarkOrange} Coluna3} = 3\;.\;{\color{Orange} Coluna1}} \end{matrix}$

Propriedade 4: Toda matriz que apresenta uma fila (linha ou coluna) igual à combinação linear dos elementos das filas paralelas, seu determinante será zero.

$\begin{matrix} \begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} {\color{Red} 8}&{\color{Green} 3}&{\color{Blue} 5}\\ {\color{Red} 4}&{\color{Green} 2}&{\color{Blue} 2}\\ {\color{Red} 7}&{\color{Green} 1}&{\color{Blue} 6} \end{vmatrix}=0 \\ \\ \textrm{{\color{Red} Coluna1} = {\color{Green} Coluna2} + {\color{Blue} Coluna3 }} \end{matrix} \\ \\ \begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} {\color{Red} 11}&{\color{Red} 5}&{\color{red} 8}\\ {\color{Green} 4}&{\color{Green} 2}&{\color{Green} 2}\\ {\color{Blue} 3}&{\color{Blue} 1}&{\color{Blue} 4} \end{vmatrix}=0 \\ \\ \textrm{{\color{Red} Linha1} = 2\;.\;{\color{Green} Linha2} + {\color{Blue} Linha3 }} \end{matrix} \end{matrix}$

Propriedade 5: O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix}=12 & & & det(M^{t})=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}=12 \end{matrix}$

Propriedade 6: Se multiplicar um número real pelos elementos de uma fila de uma matriz, seu determinante sai multiplicado por esse número.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}=1 \\ \\ \textrm{Coluna1 multiplicada por 3} = \begin{vmatrix} (1\;.\;3) & 1 & 2\\ (2\;.\;3) & 3 & 3\\ (1\;.\;3) & 3 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2\\ 6 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}=1\;.\;3=3 \end{matrix}$

Propriedade 7: Se multiplicar um número real pelos elementos de uma matriz, seu determinante sai multiplicado por esse número elevado a o número da ordem da matriz.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}=1 \\ \\ \textrm{Matriz M multiplicada por 3} = \begin{vmatrix} (1\;.\;3) & (1\;.\;3) & (2\;.\;3)\\ (2\;.\;3) & (3\;.\;3) & (3\;.\;3)\\ (1\;.\;3) & (3\;.\;3) & (1\;.\;3) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 3 & 6\\ 6 & 9 & 9\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=1\;.\;3^{3}=9 \end{matrix}$

Propriedade 8: Se inverter duas filas de uma matriz, o sinal de seu determinante sai invertido.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}=1 \\ \\ \textrm{Linha1 invertida com a Linha 2} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 1\end{vmatrix}=-1 \end{matrix}$

Propriedade 9: O determinante de uma matriz que possui todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal nulos, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}=1\;.\;3\;.\;1=3 \\ \\ det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 0 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=1\;.\;3\;.\;1=3 \end{matrix}$

Propriedade 10: O determinante de uma matriz que possui todos os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária nulos, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal secundária multiplicado por $(-1)^{_{\tfrac{n(n-1)}{2}}}$ .

$det(M)=\begin{vmatrix} 0 & 3\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=-(1\;.\;3)\;.\;(-1)^{_{\tfrac{2(2-1)}{2}}}=-3$

$det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}=(1\;.\;3\;.\;2)\;.\;(-1)^{\tfrac{3(3-1)}{2}}=6\;.\;(-1)=-6$

$det(M)=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 4\\ 1 & 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}=(1\;.\;2\;.\;2\;.\;3)\;.\;(-1)^{_{_{\tfrac{4(4-1)}{2}}}}=12\;.\;1=12$

Propriedade 11 (Teorema de Binet): O determinante do produto entre duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes das matrizes.

$det(AB)=det(A)\;.\;det(B)$

Propriedade 12 (Teorema de Jacobi): Dada uma matriz qualquer, se substituída um fila por ela mesma somada ao dobro de uma outra fila paralela, seu determinante não se altera.

$\begin{matrix} det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2\\ 4 & 5 & 1\\ 1 & 6 & 3 \end{vmatrix}=25 \\ \\ det(M)=\begin{vmatrix} 1-(2\;.\;2) & 2 & 2\\ 4-(2\;.\;5) & 5 & 1\\ 1-(2\;.\;6) & 6 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & 2 & 2\\ -6 & 5 & 1\\ -11 & 6 & 3 \end{vmatrix}=25 \end{matrix}$

Propriedade 13 (Matriz de Vandermonde): O determinante de uma matriz quadrada, cuja primeira fila é formada pelo elementos iguais a 1 e as demais filas são potências da segunda fila seguindo em progressão geométrica, é dado por um produto das subtrações dos números que estão mais a direita pelos números que estão mais a esquerda, sempre em pares.

$M=\begin{bmatrix} a_{1}^{0} & a_{2}^{0} & a_{3}^{0} & \cdots & a_{n}^{0}\\ \\ a_{1}^{1} & a_{2}^{1} & a_{3}^{1} & \cdots & a_{n}^{1}\\ \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \cdots & a_{n}^{2}\\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1}\\ \end{bmatrix}_{n\times n}$

Exemplo de Matriz de Vandermonde

$M=\begin{bmatrix} 4^{0} & 3^{0} & 5^{0} & 2^{0}\\ 4^{1} & 3^{1} & 5^{1} & 2^{1}\\ 4^{2} & 3^{2} & 5^{2} & 2^{2}\\ 4^{3} & 3^{3} & 5^{3} & 2^{3} \end{bmatrix}_{4\times 4}$

$det(M)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 4 & 3 & 5 & 2\\ 16 & 9 & 25 & 4\\ 64 & 27 & 125 & 8 \end{vmatrix}$

$det(M)=(3-4).(5-3).(5-4).(2-5).(2-3).(2-4)$

$det(M)=(-1).(2).(1).(-3).(-1).(-2)$

$det(M)=12$

Propriedade 14: Soma de determinantes pede ser feita de um jeito diferente do convencional (det A + det B = det C).

$\begin{matrix} A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\ 4 & 7 & 5\\ 2 & 8 & 3 \end{bmatrix} & det(A)=11 \\ \\ B=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 2\\ 6 & 7 & 5\\ 4 & 8 & 3 \end{bmatrix} & det(B)=46 \end{matrix}$

$\begin{matrix} det(A)+det(B)=det(C) \\ \\ 11+46=57 \end{matrix}$

O resultado dessa soma pode ser obtido através da soma de duas filas correspondentes entre duas matrizes quadradas distintas, e de mesma ordem.

$det(C)=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 4 & 7 & 5\\ 2 & 8 & 3 \end{vmatrix} \;+\; \begin{vmatrix} 0 & 3 & 2\\ 6 & 7 & 5\\ 4 & 8 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1+0 & 3 & 2\\ 4+6 & 7 & 5\\ 2+4 & 8 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 10 & 7 & 5\\ 6 & 8 & 3 \end{vmatrix}=57$